高中解析几何中的最值问题及其教学策略研究

姚振飞（江苏省通州高级中学   数学教师  南通   226300）

摘要：解析几何在高中数学的重要内容，尤其是解析几何的最值问题所涉及的综合性较强，与函数、方程、不等式等密切相关。因此，在教学过程中要注意对解析几何最值问题进行方法策略探析，实现优化解题的目的。论文通过一些解析几何最值问题的典型例题，总结归纳其教学策略，为高中解析几何最值问题提供常用的解答技巧与方法。

关键词：高中解析几何；最值问题；教学策略

    高中解析几何最值问题是数学中的一大难题，它所涉及的知识点、概念众多，且具有一定的综合性。根据经典的解析几何最值问题的例题，总结归纳简单的教学策略，能够快速促进解析几何问题的解决^[1]。

一、解析几何最值问题概述

高中解析几何中有关的最值问题，一般可以分成两大类。一是几何图形中的夹角、距离以及面积的最值，二是直线与圆锥或圆形曲线的几何最值问题^[2]。这两类解析几何求最值的，虽然方向有所不同，但是都同样以解析几何的知识作为解题的载体，并且涉及到函数、不等式、向量、数列等各种知识，包含的知识点也较多。对于高中数学课程以及高考来说，是一个综合类的难点与热点，往往会让学生无从下手，找不到解题的突破口。而对于解析几何最值问题的解决，一般要总观全局，从细微处入手解决，它虽然没有固定的解题模式，但还是可以根据多种例题的分析归纳，总结出一些解决高中解析几何最值的方法策略。

二、高中解析几何最值问题的教学策略分析

1.利用曲线定义法教学策略解答

通过长久的解析几何教学解题经验，可以发现灵活利用概念定义进行解题，是一把万能的金钥匙。尤其是解决直线与圆锥或圆形曲线的几何最值问题，利用曲线定义法更能快速达到事半功倍的效果。因为圆锥曲线定义明白的表述出动点与定直线、定点间距离不变的关系，巧妙利用这一关系，能够迅速的找到最值问题的解决口径。因此，在进行高中解析几何最值问题的教学过程中，要重点指导学生牢固理解掌握曲线定义，并合理运用在实际的解析几何最值问题上，快速直观的解决圆锥曲线所涉及的最值问题。

例如典型的解析几何最值例题，已知直线l₁和l₂，分别为4x-3y+11=0和x=-1，同时抛物线y²=4x上有一动点P，求它到直线l₁和l₂间的最小距离和？根据曲线定义法，我们可以快速的简单画出该试题的示意图，了解到动点P到l₂的距离，可以由P点向l₂做垂直线，与横坐标相交于F点，其中PF的距离即为转化为P到l₂的距离，同时也可看出距离最小和，则转化为求F到l₁的距离，可以实现为，最后得出答案为3。

2.利用函数思想教学策略解答

在进行高中解析几何最值问题的教学过程中，将合适的变量转化为函数思想进行最值问题的解决是一个有效的策略^[3]。无论是以此函数、二次函数还是对号函数等都对解析几何自变量与对称轴的位置具有一定的帮助，快速的对最值问题进行确定。只有在对称轴位置不确定的情况下，才需要进一步的对其进行分类讨论。例如在2010年的福建高考题中，有一个经典例题可以通过二次函数配方法来快速解决解析几何中的最值问题。

其题意为：若点O和点F为椭圆的中心和左焦点，点P是椭圆上的任意点，求最大值？而对于该题，可以巧妙的利用函数思想来进行解答。首先，通过题意可以F（-1,0），假设点P（x₀，y₀），则可以得到算式，将之进行变化为。同时因为=（x₀+1，y₀），=（x₀，y₀）,所以，该二次函数对应的抛物线对称轴为x₀=-2，可知-2≤x₀≤2，因此当x₀=2时，的最大值为。

    同时在高中解析几何求最值的教学过程中，要注意四边形面积公式的通用。这也是一种巧妙利用函数形式解决解析几何最值问题的重要思考途径^[4]。AB、CD都代表四边形的对角线，是这两条对角线的夹角，在具体解题时根据圆锥曲线确定其对称性与弦长的公式，使用斜率k来表示出与，也就轻易的得到，能够将面积S转化为用k表示的函数，顺利实现面积函数化的转变目标。

3.利用基本不等式法教学策略解答

在高中解析几何的最值问题求解中，当所体现的函数关系式满足基本不等式使用的条件时，可以将其转化为利用不等式方法来进行准确解答。在这一解题过程中，要掌握好配凑的技巧，结合“一正二定三相等”的原则，共同进行解析几何的求最值。下面我们将利用典型例题来具体进行不等式求解析几何最值的解答方法。

已知椭圆E：（a>3）的离心率，直线x=t（t>0）与曲线E交于M，N两个不同点，以线段MN为直径作圆C，圆心为C。问题：（1）求椭圆E的方程；（2）若圆C与y轴相交于不同两点A，B，求三角形ABC的面积最大值^[5]。而对于该题可以采用不等式解析几何求最值的方法进行解答，简单明了的获得最终答案。

对于问题1，从题面可知椭圆E：（a>3）的离心率，所以可得，由此解答出a=2，也就能得出椭圆E的方程为。而对于第二个问题，可以设圆心为C（t，0）（0<t<2），得到方程式为：

，经过该方程式的带入转化，可以将y²表示为，确定出圆C的半径：。同时由于圆C与y轴交于A，B两点，且圆心到y的距离是d=t，由此可知，即转变为。

而根据上面已经得到的半径值，可以得出，从而算出三角形ABC的面积为：

，而且根据题意及不等式定义，当且仅当，即时，等号才成立，因此最后得到三角形ABC的面积最大值为。

三、结语

综上所述，总共从曲线定义法、函数思想转变法以及基本不等式法进行了高中解析几何最值的探讨，并对其教学策略提供了方向。除了这些方法外，解决解析几何最值问题还有截距法、向量法、平面几何法、方程法等，为解析几何最值教学策略提供了丰富的内容及技巧。

参考文献：

[1]吕宗银.解析几何中的最值问题[J].北京：高中数理化，2011（19）：6-8.

[2]陈彦琪.浅谈如何有效地解决解析几何中的最值问题[J].辽宁：中国数学教育，2010（4）：45-47.

[3]曹顺平.解析几何最值问题常用求解策略[J].吉林：考试周刊，2011（69）：61-62.

[4]黄剑.从近年常见的一类高考解析几何综合题谈平时的教学策略[J].辽宁：中国数学教育，2010（4）：38-40.

[5]赵文炜.浅谈高考解析几何中的最值问题[J]. 北京：高中数理化，2012（10）：7-8.